Definition Und Eigenschaften

Suffiziente Statistiken in der mathematischen Statistik

Definition und Eigenschaften

In der mathematischen Statistik ist eine suffiziente Statistik eine Statistik, die alle relevante Information bezüglich des unbekannten Parameters aus der Stichprobe enthält. Genauer gesagt, eine Statistik T ist suffizient für den Parameter θ in einem statistischen Modell, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichprobe X gegeben T nicht von θ abhängt.

Mit anderen Worten, eine suffiziente Statistik fasst alle Informationen aus der Stichprobe zusammen, die für die Inferenz über den unbekannten Parameter relevant sind. Alle anderen Statistiken, die aus der Stichprobe berechnet werden können, enthalten keine zusätzlichen Informationen über den Parameter.

Beispiele

Beispiel 1

Betrachten Sie eine Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter p. Die Zufallsvariablen X_k, k = 1,...,n, sind unabhängig und es gilt P(X_k = 1) = p, P(X_k = 0) = 1 - p. Dann ist die Summe S_n = ∑_k=1ⁿ X_k eine suffiziente Statistik für p.

Beispiel 2

Am Ende von Abschnitt 3.8 in dem Buch "Mathematische Statistik" von Hogg, McKean und Craig ist die Statistik S² = ∑_i=1ⁿ (X_i - ȳ)² eine suffiziente Statistik für die Varianz σ² in einem Normalverteilungsmodell.

Schlussfolgerung

Suffiziente Statistiken spielen eine entscheidende Rolle in der mathematischen Statistik. Sie ermöglichen es Statistikern, Konfidenzintervalle und Hypothesentests basierend auf allen relevanten Informationen aus der Stichprobe zu konstruieren. Durch die Verwendung suffizienter Statistiken können Statistiker sicherzustellen, dass ihre Schlussfolgerungen so genau und zuverlässig wie möglich sind.